極座標の面積

定理 2.6（「積分の応用」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\alpha<\beta\le\alpha+2\pi$ とし、 $\rho:[\alpha,\beta]\to[0,\infty)$ を連続とする。

D=\{(r\cos\theta,\ r\sin\theta):\ \alpha\le\theta\le\beta,\ 0\le r\le\rho(\theta)\}

は面積確定で、その面積は $\displaystyle|D|=\frac12\int_\alpha^\beta\rho(\theta)^2d\theta$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 83 件、定義なども含めて 100 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法
    微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束この先をたどる →
cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面この先をたどる →
  - exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分
- 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
- 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 有界閉長方形上の連続関数の一様連続性✓補題 3.1・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
三角関数の基本性質✓命題 3.1・三角関数
- cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列
  - アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 整列性公理 3.1・証明の技術
- 単位円の媒介変数表示✓定理 7.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
面積 0 の例外集合を許す変数変換公式✓系 6.9・重積分と累次積分
- 重積分の変数変換公式✓定理 6.7・重積分と累次積分この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

極座標の面積

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）