数学 › 微分積分学 › ベクトル解析と積分定理

面積分のパラメータ不変性

命題 4.2（「ベクトル解析と積分定理」§4） ・ ✓公理まで証明済み

開集合 U~,U′⊂R2\tilde U,U'\subset\mathbb{R}^2 上の全単射な C1C^1 級写像 Φ:U~→U′\Phi:\tilde U\to U' で det⁡DΦ\det D\Phi が符号一定で 00 にならないものと、有界閉集合 D~⊂U~\tilde D\subset\tilde U、D=Φ(D~)D=\Phi(\tilde D) を考え、r\boldsymbol r は U′U' を含む開集合上の C1C^1 級写像とする。det⁡DΦ>0\det D\Phi>0 とする。r~=r∘Φ\tilde{\boldsymbol r}=\boldsymbol r\circ\Phi もパラメータ表示で、∬D~F(r~)⋅(r~u~×r~v~) du~ dv~=∬DF(r)⋅(ru×rv) du dv\iint_{\tilde D}\boldsymbol F(\tilde{\boldsymbol r})\cdot(\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde u}\times\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde v})\,d\tilde u\,d\tilde v=\iint_D\boldsymbol F(\boldsymbol r)\cdot(\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v)\,du\,dv である。det⁡DΦ<0\det D\Phi<0 のときは右辺の符号が反転する。スカラー場の面積分 ∬f dS\iint f\,dS は det⁡DΦ\det D\Phi の符号に依らず不変である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 54 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。