数学 › 数値解析の基礎 › 数値積分 I

区間の変換と誤差

命題 2.4（「数値積分 I」§2） ・ ✓公理まで証明済み

[−1,1][-1,1] 上の求積則 Q^(g)=∑ivig(ti)\hat Q(g) = \sum_i v_i g(t_i) について、整数 k≥0k \ge 0 と定数 cc があり、すべての g∈Ck+1[−1,1]g \in C^{k+1}[-1,1] について ∫−11g−Q^(g)=c g(k+1)(η)\int_{-1}^1 g - \hat Q(g) = c\,g^{(k+1)}(\eta) となる η∈[−1,1]\eta \in [-1,1] が存在するとする。φ(t)=a+b2+b−a2t\varphi(t) = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t とし、[a,b][a,b] 上の則を xi=φ(ti)x_i = \varphi(t_i)、wi=b−a2viw_i = \frac{b-a}{2}v_i で定める。このとき f∈Ck+1[a,b]f \in C^{k+1}[a,b] について、ξ∈[a,b]\xi \in [a,b] があって

I(f)−Q(f)=c(b−a2)k+2f(k+1)(ξ)I(f) - Q(f) = c\Bigl(\frac{b-a}{2}\Bigr)^{k+2} f^{(k+1)}(\xi)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。