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調和振動子の M 分割の分配関数とエネルギー

命題 4.2（「経路積分 Monte Carlo」§4） ・ ✓公理まで証明済み

V(x)=12ω2x2V(x) = \frac12\omega^2x^2（ω>0\omega > 0）とし、θ>0\theta > 0 を sinh⁡(θ/2)=τω/2\sinh(\theta/2) = \tau\omega/2 で定める（τ=β/M\tau = \beta/M）。

  1. ZM=12sinh⁡(Mθ/2)Z_M = \dfrac{1}{2\sinh(M\theta/2)}。
  2. EM=−∂∂βln⁡ZME_M = -\dfrac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_M は EM=ω2cosh⁡(θ/2)coth⁡Mθ2E_M = \frac{\omega}{2\cosh(\theta/2)}\coth\frac{M\theta}{2} である。また ⟨xk2⟩M=EM/ω2\langle x_k^2\rangle_M = E_M/\omega^2。
  3. β,ω\beta, \omega を固定して M→∞M \to \infty とするとき、E=ω2coth⁡βω2E = \frac\omega2\coth\frac{\beta\omega}{2}（厳密な内部エネルギー）、x=βω/2x = \beta\omega/2 として EM−E=−ω2(βωM)2[coth⁡x8−x24sinh⁡2x]+O(M−4)E_M - E = -\frac\omega2\Bigl(\frac{\beta\omega}{M}\Bigr)^2\Bigl[\frac{\coth x}{8} - \frac{x}{24\sinh^2x}\Bigr] + O(M^{-4}) で、角括弧の中は正である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 69 件、定義なども含めて 78 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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