Hardy 空間・Toeplitz 作用素・Hankel 作用素

$H^2=H^2(\mathbb{T})=\{f\in L^2(\mathbb{T})\mid f_k=0\ (k\lt0)\}$ とし、$P$ を $L^2(\mathbb{T})$ から $H^2$ への直交射影とする。$a\in L^\infty(\mathbb{T})$ について、$M_a$ を $a$ の掛け算作用素、$J$ を $Je_k=e_{-k-1}$（$k\ge0$）で定まる $H^2$ から $(H^2)^\perp$ への等長全射とし、

と定める。$\tilde a(\theta)=a(-\theta)$ と書く。$H^\infty=H^2\cap L^\infty$、$\overline{H^\infty}=\{\bar f\mid f\in H^\infty\}$ とする。