可算ヒルベルト空間と核型空間

ベクトル空間 $E$ 上に内積から来るノルムの増大列 $\|\cdot\|_0\le\|\cdot\|_1\le\cdots$ が与えられ、$E$ がこれらの定める距離（定義 3.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］）で完備なとき、$E$ を可算ヒルベルト空間という。$E$ の $\|\cdot\|_m$ による完備化を $\mathcal{H}_m$ とし、$m\lt m'$ について恒等写像 $E\to E$ が延びて得られる縮小写像を $\iota_{m',m}:\mathcal{H}_{m'}\to\mathcal{H}_m$ とする。各 $m$ についてある $m'\gt m$ が存在して $\iota_{m',m}$ が Hilbert–Schmidt 作用素となるとき、$E$ を核型であるという。