# 相関不等式：Griffiths・GKS・FKG・Lebowitz と無限体積極限
> 強磁性 Ising 模型で Griffiths の第 1・第 2 不等式と FKG 不等式を証明し、Griffiths–Simon 構成で φ⁴ 型のスピンに拡張する。複製変数と FKG で Lebowitz 不等式を示し、体積単調性による無限体積極限と自明性での役割を述べる。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-qft/correlation-inequalities
## 0. この記事の要点
小さな磁石が格子状に並び、隣り合うものが同じ向きをそろえたがる状況を考えます。ある場所の磁石が上を向いていると、離れた場所の磁石も上を向きやすくなるはずですが、それを厳密な不等式として言い切れるのでしょうか。この記事は、そうした「向きのそろいやすさ（相関）」の符号と大小を、計算が難しい模型でも確かめられる不等式にまとめます。読み終えると、体積を広げたときに相関がどちら向きに動くかを、これらの不等式から説明できるようになります。
- 強磁性（すべての結合と外場が非負）の Ising 模型では、スピンの積の期待値が非負（**Griffiths の第 1 不等式**）で、2 つの積は正に相関します（**第 2 不等式、GKS**）。第 2 不等式は「相関は結合定数・外場について単調増加」と同値で、体積を広げると相関が増えることを意味します。
- 証明は、Boltzmann 因子を冪級数に展開して符号を見るだけです（第 1）。第 2 は、独立な複製 $\sigma'$ を用意し $\sigma'_i=\sigma_i\tau_i$ と置き換えて第 1 に帰着させます。
- **Griffiths–Simon 構成**: 臨界 Curie–Weiss 模型の $N$ 個のスピンの和を $N^{-3/4}$ で規格化すると、分布が $e^{-x^4/12-ax^2/2}$ に収束します。これにより $\phi^4$ 型の 1 点分布をもつ格子場は強磁性 Ising 模型の極限になり、Ising で示した不等式がすべて移ります。
- **FKG 不等式**: 束条件 $\mu(\omega\vee\eta)\mu(\omega\wedge\eta)\ge\mu(\omega)\mu(\eta)$ を満たす測度では、単調増加関数どうしが正に相関します。外場の符号によらず強磁性 Ising 模型に使えます。
- **Lebowitz 不等式**: 外場 $0$ の強磁性 Ising 模型と Griffiths–Simon 族では 4 点 Ursell 関数が $u_4\le0$ です。本章では、複製変数 $t=(\sigma+\sigma')/2$, $q=(\sigma-\sigma')/2$ で $u_4$ を共分散に書き直し、FKG で符号を決めます。これはくりこまれた結合 $g_R\ge0$ と、自明性の判定（$g_R\to0$ なら Gauss 的）の出発点です。
## 1. 動機
[前章](/physics/constructive-qft/p-phi-2) では、$\phi^4$ 型の $P(\phi)_2$ 模型について、Dirichlet 境界条件の下で Schwinger 関数が体積について単調増加すること（