数学 › 解析学（実解析） › 符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

Lebesgue の定理（単調関数はほとんど至るところ微分可能）

定理 6.7（「符号付き測度と Radon–Nikodym の定理」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 46 件、定義なども含めて 52 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 単調関数の微分✓定理 6.6・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

  • Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

    • $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

      • Vitali の被覆補題✓補題 5.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    • 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度

      • 可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
      • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
  • 不定積分の微分✓系 5.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

    • Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理（上で展開済み）
  • 特異測度の微分✓補題 6.5・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

    • Lebesgue–Stieltjes 測度の外正則性✓補題 6.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

      • Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
      • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • Vitali の被覆補題✓補題 5.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
• 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
• 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列

      • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
      • 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 有界変動関数の微分可能性✓系 6.8・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理