同じ種を渡すと分散は減らない

$X_{j,i}$（$j = 1, \ldots, p$、$i = 1, \ldots, m$）を、平均 $\mu$、分散 $\sigma^2 \lt \infty$ の確率変数とし、各 $j$ について $X_{j,1}, \ldots, X_{j,m}$ は互いに無相関とする。$\bar Y_j = \frac1m\sum_{i=1}^m X_{j,i}$（ワーカー $j$ の標本平均）、$\bar Y = \frac1p\sum_{j=1}^p\bar Y_j$（全体の標本平均）とおく。

1. 定数 $\rho$ があって、すべての $j \ne k$ で $\mathrm{Cov}(\bar Y_j, \bar Y_k) = \rho\,\sigma^2/m$ ならば $$\mathrm{Var}(\bar Y) = \frac{\sigma^2}{pm}\bigl(1 + (p-1)\rho\bigr).$$
2. ワーカーどうしが無相関（$\rho = 0$）なら $\mathrm{Var}(\bar Y) = \sigma^2/(pm)$。
3. すべてのワーカーが同じ列を使う（すべての $j, i$ で $X_{j,i} = X_{1,i}$）なら $\mathrm{Var}(\bar Y) = \sigma^2/m$ で、2 の $p$ 倍である。