温度の極限・順位の保存・エントロピーの単調性

$\boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^N$ とし、最大値を $z_{\max} = \max_i z_i$、それを取る添字の集合を $I = \{ i : z_i = z_{\max} \}$ とします。

1. $\tau \to 0+$ のとき、$p_{\tau, i} \to 1 / |I|$（$i \in I$）、$p_{\tau, i} \to 0$（$i \notin I$）です。
2. $\tau \to \infty$ のとき、すべての $i$ で $p_{\tau, i} \to 1 / N$ です。
3. 任意の $\tau > 0$ について、$z_i > z_j$ なら $p_{\tau, i} > p_{\tau, j}$、$z_i = z_j$ なら $p_{\tau, i} = p_{\tau, j}$ です。温度は成分の順位を変えません。
4. $h(\tau) = H(p_\tau)$ は $\tau > 0$ で微分可能で、

です。したがって $h$ は広義単調増加で、$z$ の成分がすべて等しい場合を除いて狭義単調増加です。