対称変量の分散

定理 4.3（「Monte Carlo 積分と分散低減」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f : [0,1]^d \to \mathbb{R}$ をボレル可測で、各変数について単調（変数ごとに、非減少か非増加かのどちらかに決まっている）とし、 $U$ を $[0,1]^d$ 上の一様分布に従う確率変数、 $f(U) \in L^2$ 、 $\sigma^2 = \mathrm{Var}(f(U))$ とする。

$\mathrm{Cov}\bigl(f(U), f(\boldsymbol{1} - U)\bigr) \le 0$ 。
$\hat I_N^{\mathrm{anti}}$ は不偏で、 $\mathrm{Var}\bigl(\hat I_N^{\mathrm{anti}}\bigr) = \frac{\sigma^2 + \mathrm{Cov}(f(U), f(\boldsymbol{1} - U))}{N} \le \frac{\sigma^2}{N}$ である。すなわち、同じ評価回数 $N$ の単純な推定量 $\hat I_N$ の分散以下である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 97 件、定義なども含めて 118 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単調な 2 関数の共分散✓補題 4.2・Monte Carlo 積分と分散低減
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値
    期待値定義 4.1・確率変数と期待値
    分布と分布関数定義 3.5・確率変数と期待値
    単関数の期待値の well-defined 性✓補題 4.2・確率変数と期待値
    標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値この先をたどる →
    単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
- 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
- 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
Monte Carlo 推定量の誤差✓定理 2.2・Monte Carlo 積分と分散低減
- 大数の強法則（コルモゴロフ）✓定理 4.5・大数の法則と中心極限定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
  - 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
- 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
- 中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ）✓定理 5.6・大数の法則と中心極限定理
  - 特性関数の 2 次展開✓補題 5.4・大数の法則と中心極限定理
  - 指数関数への収束✓補題 5.5・大数の法則と中心極限定理
  - レヴィの連続性定理✓定理 5.2・大数の法則と中心極限定理
    分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
    分布関数による特徴づけ（d = 1）✓補題 4.2・特性関数と Gauss ベクトル
    Lévy の連続性定理（収束先が既知の場合）✓定理 4.4・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
    Lévy の連続性定理（極限関数の連続性による存在）✓定理 4.7・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
  - 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
- 収束概念の含意✓定理 3.6・大数の法則と中心極限定理
  - 測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ✓定理 4.3・確率空間とコルモゴロフの公理
    確率測度の基本性質✓定理 4.2・確率空間とコルモゴロフの公理この先をたどる →
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理この先をたどる →
  - マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
- スルツキーの定理✓命題 6.1・大数の法則と中心極限定理
- 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

対称変量の分散

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）