窓つき推定量の偏り

弱定常列 $(A_t)$ が $S_1 = \sum_{t\in\mathbb{Z}}|\Gamma(t)| < \infty$ を満たすとし、$0 \le W < N$ とする。

1. $0 \le t < N$ について $|\mathbb{E}[\hat\Gamma(t)] - \Gamma(t)| \le 3S_1/N$。
2. $\mathbb{E}[\hat\sigma_W^2] - \sigma_\infty^2 = -2\sum_{t > W}\Gamma(t) + R$、$|R| \le 3(2W+1)S_1/N$。したがって $\Gamma(0) > 0$ のとき $$\frac{\mathbb{E}[\hat\sigma_W^2]}{2\Gamma(0)} - \tau_{\mathrm{int}} = -\sum_{t > W}\rho(t) + R', \qquad |R'| \le \frac{3(2W+1)S_1}{2\Gamma(0)N}.$$
3. $(A_t)$ が 定理 3.1 の列で絶対スペクトルギャップが $\gamma_* > 0$ のとき、$|\rho(t)| \le (1 - \gamma_*)^t$ で、 $$\Bigl|\sum_{t > W}\rho(t)\Bigr| \le \frac{(1 - \gamma_*)^{W+1}}{\gamma_*} \le \frac{(1-\gamma_*)^W}{\gamma_*}.$$