Lévy の連続性定理（多次元）

定理 5.2（「確率測度の弱収束」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mu_n$ を $\mathbb{R}^d$ 上の確率測度、 $\varphi_n$ をその特性関数とする。すべての $t\in\mathbb{R}^d$ で $\varphi_n(t)\to\psi(t)$ となり、 $\psi$ が $t=0$ で連続ならば、 $\psi$ はある確率測度 $\mu$ の特性関数で、 $\mu_n\Rightarrow\mu$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 84 件、定義なども含めて 103 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

特性関数による緊密性の評価✓補題 4.5・特性関数と Gauss ベクトル
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
Helly の選出定理（緊密な場合）✓系 3.5・確率測度の弱収束
- Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束
  - C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
  - Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
- Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
    ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
部分列の原理✓補題 5.1・確率測度の弱収束

これを使っている定理証明で参照している 2 件

GS 場はブロック Ising 模型の極限（原論文 (10.6)）✓命題 2.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
無限体積の分布✓補題 3.7・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部

Lévy の連続性定理（多次元）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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