Brown 運動の Markov 性

定理 2.2（「Feller 過程と Feynman–Kac」§2）・ ✓公理まで証明済み

$F:W^d\to[0,\infty]$ （または有界）を可測関数、 $s\ge0$ 、 $x\in\mathbb{R}^d$ とする。 $P_x$ -ほとんど確実に

E_x\bigl[F\circ\theta_s\mid\mathcal{F}_s\bigr]=E_{X_s}[F],

ここで右辺は関数 $y\mapsto E_y[F]$ に $y=X_s$ を代入したものである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 129 件、定義なども含めて 154 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Brown 運動と Wiener 測度の存在✓定理 7.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- Gauss 過程の存在✓定理 5.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル
    正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
    特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
    一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
    変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - Kolmogorov の拡張定理✓定理 4.1・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
    有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
    Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
    有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- Kolmogorov の連続性定理✓定理 6.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - 有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - マルコフの不等式✓定理 6.1・確率変数と期待値
    期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
- ブラウン運動のガウス過程による特徴づけ✓命題 5.5・マルチンゲールとブラウン運動
  - ブラウン運動（ウィーナー過程）定義 5.1・マルチンゲールとブラウン運動
- 連続関数の空間✓補題 7.1・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性
    一様連続性の基本性質✓命題 6.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
  - 有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
独立な変数の凍結✓補題 2.1・Feller 過程と Feynman–Kac
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Brown 運動の Feller 半群✓定理 3.5・Feller 過程と Feynman–Kac
Feynman–Kac 半群の半群性✓補題 4.1・Feller 過程と Feynman–Kac
Khasminskii の補題✓補題 4.5・Feller 過程と Feynman–Kac

Brown 運動の Markov 性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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