数学 › 組合せ論 › グラフと行列式

Cauchy の行列式

定理 5.1（「グラフと行列式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$ を、すべての $i,j$ で $x_i+y_j\neq0$ となる複素数とする。このとき

\det\Bigl[\frac1{x_i+y_j}\Bigr]_{i,j=1}^n=\frac{\prod_{i\lt j}(x_j-x_i)(y_j-y_i)}{\prod_{i,j}(x_i+y_j)} .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Borchardt の恒等式✓定理 5.3・グラフと行列式

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