PG(n, q) の点・直線・超平面

定理 2.4（「有限幾何とデザイン」§2）・ ✓公理まで証明済み

$n \ge 2$ とする。 $\mathrm{PG}(n, q)$ について次が成り立つ。

点は $\dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1} = q^n + q^{n-1} + \cdots + 1$ 個、超平面も同数、直線は $\binom{n+1}{2}_q = \dfrac{(q^{n+1} - 1)(q^n - 1)}{(q^2 - 1)(q - 1)}$ 本ある。
相異なる 2 点を通る直線はちょうど 1 本あり、各直線の上にはちょうど $q + 1$ 個の点がある。
各点を通る直線は $\dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ 本ある。
（双対性） $U \mapsto U^{\perp}$ は、 $\mathbb{F}_q^{n+1}$ の $k$ 次元部分空間の全体から $n + 1 - k$ 次元部分空間の全体への全単射で、包含関係を逆転する。とくに点と超平面が入れ替わる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

部分空間の個数✓命題 2.3・有限幾何とデザイン
- 基底による表示の一意性✓命題 5.2・ベクトル空間と線形変換
双対符号の次元と検査行列✓定理 3.5・線形符号
- 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間
  - 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
- 有限次元での単射・全射・全単射の一致✓系 7.5・ベクトル空間と線形変換
  - 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
    部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
  - 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
    核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 零化空間定義 3.3・双対空間と商空間
- 零化空間の次元公式✓定理 3.4・双対空間と商空間
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間（上で展開済み）
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

PG(2, q) は射影平面✓定理 3.2・有限幾何とデザイン
Hamming 符号の重み 3 の符号語✓定理 7.2・有限幾何とデザイン

PG(n, q) の点・直線・超平面

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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