Hamming 符号の重み 3 の符号語

定理 7.2（「有限幾何とデザイン」§7）・ ✓公理まで証明済み

$r \ge 2$ 、 $n = 2^r - 1$ とし、二元 Hamming 符号 $C$ の座標を、検査行列の列である $\mathbb{F}_2^r$ の $0$ でないベクトル、すなわち $\mathrm{PG}(r - 1, 2)$ の点で番号づける。このとき、重み $3$ の符号語の台の全体は $\mathrm{PG}(r - 1, 2)$ の直線の全体と一致し、Steiner 3 重系 $S(2, 3, 2^r - 1)$ をなす。重み $3$ の符号語は $(2^r - 1)(2^{r-1} - 1)/3$ 個ある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hamming 符号と単体符号✓定理 6.2・線形符号
- 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
  - 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
    部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 最小距離と検査行列の列✓定理 3.7・線形符号
  - 最小距離は最小重み✓命題 3.2・線形符号
    Hamming 距離は距離✓命題 2.2・線形符号
- Hamming 限界（球充填限界）✓定理 5.4・線形符号
  - 最小距離と誤り検出・誤り訂正✓定理 2.4・線形符号
    Hamming 距離は距離✓命題 2.2・線形符号
  - Hamming 球の体積✓補題 5.2・線形符号
    二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
- 双対符号の次元と検査行列✓定理 3.5・線形符号
  - 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間
    座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
  - 有限次元での単射・全射・全単射の一致✓系 7.5・ベクトル空間と線形変換
    核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 零化空間定義 3.3・双対空間と商空間
  - 零化空間の次元公式✓定理 3.4・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間（上で展開済み）
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
PG(n, q) の点・直線・超平面✓定理 2.4・有限幾何とデザイン
- 部分空間の個数✓命題 2.3・有限幾何とデザイン（上で展開済み）
- 双対符号の次元と検査行列✓定理 3.5・線形符号（上で展開済み）
部分空間の個数✓命題 2.3・有限幾何とデザイン
- 基底による表示の一意性✓命題 5.2・ベクトル空間と線形変換

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Hamming 符号の重み 3 の符号語

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）