数学 › 有限体と符号 › 有限体上の多項式

Berlekamp の定理

定理 6.2（「有限体上の多項式」§6） ・ ✓公理まで証明済み

f∈Fq[x]f \in \mathbb{F}_q[x] をモニック多項式とし、f=f1f2⋯frf = f_1 f_2 \cdots f_r と相異なるモニックな既約多項式の積に書けるとする（ff は平方因子をもたない）。

  1. g∈Fq[x]g \in \mathbb{F}_q[x] について、gq≡g(modf)g^q \equiv g \pmod f であることと、各 ii に対し g≡ci(modfi)g \equiv c_i \pmod{f_i} となる ci∈Fqc_i \in \mathbb{F}_q が存在することは同値である。このとき cic_i は一意に定まる。
  2. B(f)B(f) の Fq\mathbb{F}_q 上の次元は、既約因子の個数 rr に等しい。特に、ff が既約であることと dim⁡B(f)=1\dim B(f) = 1 は同値である。
  3. gq≡g(modf)g^q \equiv g \pmod f のとき、(1) の cic_i を使って、各 c∈Fqc \in \mathbb{F}_q について gcd⁡(f,g−c)=∏i : ci=cfi\gcd(f, g - c) = \prod_{i\,:\,c_i = c} f_i であり、
f=∏c∈Fqgcd⁡(f, g−c)f = \prod_{c \in \mathbb{F}_q} \gcd(f,\ g - c)

が成り立つ。gg が ff を法としてどの定数とも合同でなければ、右辺の因子のうち少なくとも 2 つは 11 でなく、ff の自明でない分解が得られる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。