射影次元・入射次元・大域次元

$A$ 加群 $M \ne 0$ の射影分解の長さの最小値を $M$ の射影次元といい $\operatorname{pd}_A M$ と書く（長さ有限の射影分解がなければ $\infty$）。同様に、入射分解の長さ（$E^n \ne 0$ となる $n$ の上限）の最小値を入射次元 $\operatorname{id}_A M$ という。$\operatorname{gldim} A = \sup\{ \operatorname{pd}_A M : M \text{ は } A \text{ 加群} \}$ を $A$ の大域次元という。$\operatorname{pd} 0 = -\infty$ と約束する。