数学 › 可換環論 › Tor・Ext と深さ
複体・ホモロジー・鎖写像・ホモトピー 定義 2.1（「Tor・Ext と深さ」§2）
A A A C ∙ = ( ⋯ → C n + 1 → d n + 1 C n → d n C n − 1 → ⋯ ) C_\bullet = (\cdots \to C_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} C_n \xrightarrow{d_n} C_{n-1} \to \cdots) C ∙ = ( ⋯ → C n + 1 d n + 1 C n d n C n − 1 → ⋯ ) n ∈ Z n \in \mathbb{Z} n ∈ Z d n d n + 1 = 0 d_n d_{n+1} = 0 d n d n + 1 = 0 複体 という。Z n = ker d n Z_n = \ker d_n Z n = ker d n B n = Im d n + 1 B_n = \operatorname{Im} d_{n+1} B n = Im d n + 1 H n ( C ) = Z n / B n H_n(C) = Z_n/B_n H n ( C ) = Z n / B n n n n ホモロジー という。すべての n n n H n ( C ) = 0 H_n(C) = 0 H n ( C ) = 0 C ∙ C_\bullet C ∙ 完全 （非輪状）であるという。添字が上がる列 C n → d n C n + 1 C^n \xrightarrow{d^n} C^{n+1} C n d n C n + 1 d n + 1 d n = 0 d^{n+1}d^n = 0 d n + 1 d n = 0 C n = C − n C_n = C^{-n} C n = C − n H n ( C ) = ker d n / Im d n − 1 H^n(C) = \ker d^n / \operatorname{Im} d^{n-1} H n ( C ) = ker d n / Im d n − 1 n n n コホモロジー という。
複体の間の準同型の族 f n : C n → D n f_n\colon C_n \to D_n f n : C n → D n d f n = f n − 1 d d f_n = f_{n-1} d d f n = f n − 1 d 鎖写像 という。鎖写像は Z n Z_n Z n Z n Z_n Z n B n B_n B n B n B_n B n H n ( f ) : H n ( C ) → H n ( D ) H_n(f)\colon H_n(C) \to H_n(D) H n ( f ) : H n ( C ) → H n ( D )
二つの鎖写像 f , g : C ∙ → D ∙ f, g\colon C_\bullet \to D_\bullet f , g : C ∙ → D ∙ ホモトピック であるとは、準同型の族 h n : C n → D n + 1 h_n\colon C_n \to D_{n+1} h n : C n → D n + 1 f n − g n = d n + 1 h n + h n − 1 d n f_n - g_n = d_{n+1} h_n + h_{n-1} d_n f n − g n = d n + 1 h n + h n − 1 d n ホモトピー ）が存在することをいう。
本文で読む（前後の説明と例）→
閉包の状態 定義
定義は閉包の起点です（証明を要しません）。
印の意味: ✓ 公理まで証明済み ・ △ 証明あり（閉包未完）・ ※ 主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況 。
これを使っている定理 証明で明示的に参照している定理は、まだありません。