Serre の条件 $(R_k)$・$(S_k)$

$A$ を Noether 環、$k \ge 0$ を整数とする。

1. 高さ $k$ 以下のすべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $A_{\mathfrak{p}}$ が正則局所環であるとき、$A$ は条件 $(R_k)$ を満たすという（「余次元 $k$ まで正則」）。
2. すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\operatorname{depth} A_{\mathfrak{p}} \ge \min\{k, \dim A_{\mathfrak{p}}\}$ であるとき、$A$ は条件 $(S_k)$ を満たすという。