群のコホモロジーとホモロジー

自明な $G$ 加群 $\mathbb{Z}$ の射影分解とは、各 $P_n$ が $\mathsf{Mod}_G$ の射影対象である完全列 $\cdots \to P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z} \to 0$ をいう（定理 3.2 により存在する）。$G$ 加群 $M$ について、

1. $C^n = \operatorname{Hom}_G(P_n, M)$（$n \ge 0$、$n \lt 0$ では $0$）、$d^n \varphi = \varphi \circ d_{n+1}$ とする Abel 群の複体の $n$ 次コホモロジー（定義 2.3［鎖複体とホモトピー圏］）を $H^n(G, M)$ と書き、$G$ の $M$ に係数をもつ $n$ 次コホモロジーという。
2. $P_n \otimes M = P_n \otimes_{\mathbb{Z}} M$ に対角作用 $g(p \otimes m) = gp \otimes gm$ を入れ（テンソル積の普遍性 定理 2.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により各 $g$ で準同型が定まる）、鎖複体 $((P_n \otimes M)_G, (d_n \otimes 1)_G)$ の $n$ 次ホモロジーを $H_n(G, M)$ と書き、$n$ 次ホモロジーという。