群環

$G$ の元を基底とする自由 Abel 群 $\mathbb{Z}[G] = \mathbb{Z}^{(G)}$（定義 2.2［加群・完全列・中山の補題］）に、基底の上で $g \cdot h = gh$（群の積）となる双線形な積

を入れたものを $G$ の群環という。結合法則は群の結合法則から、単位元は $1 \in G$ である。環準同型 $\varepsilon\colon \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}$、$\varepsilon(\sum a_g g) = \sum a_g$ を添加写像という。