G 加群・不変部分・余不変部分

定義 2.2（「群のコホモロジーと群の拡大」§2）

Abel 群 $M$ と $G$ の $M$ への作用（定義 2.1［群の作用と Sylow の定理］） $(g, m) \mapsto gm$ で、各 $g$ について $m \mapsto gm$ が群準同型であるものの組を $G$ 加群という。 $G$ 加群 $M, N$ の間の群準同型 $f$ で $f(gm) = g f(m)$ を満たすものを $G$ 準同型といい、その全体を $\operatorname{Hom}_G(M, N)$ と書く。 $G$ 加群と $G$ 準同型のなす圏を $\mathsf{Mod}_G$ と書く。
すべての $g$ で $gm = m$ となる $G$ 加群を自明な $G$ 加群という。とくに断らない限り $\mathbb{Z}$ は自明な $G$ 加群とみなす。
$M^G = \{ m \in M : gm = m \ (\forall g \in G)\}$ を不変部分、 $M_G = M / \langle gm - m : g \in G, m \in M\rangle$ を余不変部分という。
集合 $X$ について、 $G \times X$ を基底とする自由 Abel 群に $g(h, x) = (gh, x)$ で作用を入れた $G$ 加群を $\mathbb{Z}[G]^{(X)}$ と書き、 $X$ 上の自由 $G$ 加群という。 $e_x = (1, x)$ と書く。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。