bar 分解

$n \ge 0$ について $B_n = \mathbb{Z}[G]^{(G^n)}$ を $G^n$ 上の自由 $G$ 加群とし、基底 $e_{(g_1, \ldots, g_n)}$ を $[g_1 | \cdots | g_n]$ と書く（$B_0 = \mathbb{Z}[G]$ の基底は $[\ ]$ の 1 つ）。$G$ 準同型 $d_n\colon B_n \to B_{n-1}$（$n \ge 1$）と $\varepsilon\colon B_0 \to \mathbb{Z}$ を、基底の上で

となるものとして定める（補題 2.4 の 1）。たとえば $d_1 [g] = g[\ ] - [\ ]$、$d_2 [g | h] = g[h] - [gh] + [g]$ である。列 $\cdots \to B_2 \to B_1 \to B_0 \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z} \to 0$ を bar 分解（標準分解）という。