フィルター付き複体

$\mathcal A$ の複体 $C$ の（減少）フィルターとは、部分複体の族 $u^p\colon F^pC \to C$（$p \in \mathbb Z$。$u^p$ は各次数で mono な鎖写像）で、各 $p$ について $u^{p+1} = u^p \iota^p$ となる鎖写像 $\iota^p\colon F^{p+1}C \to F^pC$ があるものをいう。$\operatorname{gr}^pC = \operatorname{Coker} \iota^p$ とおく。フィルターが有界であるとは、各 $n$ について整数 $a(n) \le b(n)$ があり、$p \le a(n)$ で $u^p$ の次数 $n$ の成分が同型、$p \ge b(n)$ で $F^pC^n = 0$ となることをいう。フィルター付き複体の射とは、鎖写像 $g\colon C \to C'$ で、各 $p$ について $g u^p = u'^p g^p$ となる鎖写像 $g^p\colon F^pC \to F^pC'$ があるものをいう。$H^n(C)$ には $F^pH^n(C) = \operatorname{im}(H^n(u^p))$ でフィルターが入る。