数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

Čech 複体・Čech コホモロジー

定義 3.1（「Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー」§3）

$X$ を位相空間、 $\mathfrak U = (U_i)_{i \in I}$ を開被覆とし、添字集合 $I$ に全順序を一つ固定する。 $I$ の有限部分集合 $\sigma = \{i_0 < \cdots < i_p\}$ について $U_\sigma = U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}$ と書く。層 $\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ に対し

C^p(\mathfrak U, \mathcal F) = \prod_{i_0 < \cdots < i_p} \mathcal F(U_{i_0 \cdots i_p}) \qquad (p \ge 0)

とおき、 $d\colon C^p \to C^{p+1}$ を

(d\alpha)_{i_0 \cdots i_{p+1}} = \sum_{k=0}^{p+1} (-1)^k\, \alpha_{i_0 \cdots \widehat{i_k} \cdots i_{p+1}}\big|_{U_{i_0 \cdots i_{p+1}}}

で定める（ $\widehat{i_k}$ は $i_k$ を除くことを表す）。補題 3.2 の 1 により $d \circ d = 0$ で、複体 $C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal F)$ を Čech 複体、そのコホモロジー $\check H^p(\mathfrak U, \mathcal F)$ を Čech コホモロジーという。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。