次数環・次数加群・斉次元

定義 2.1（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§2）

環 $A$ と加法部分群の族 $(A_n)_{n \ge 0}$ で、 $A = \bigoplus_{n \ge 0} A_n$ （加法群としての直和）かつすべての $m, n$ について $A_mA_n \subseteq A_{m+n}$ となるものを次数環という。 $A_n$ の元を $n$ 次の斉次元という。 $a \in A$ を $a = \sum_n a_n$ （ $a_n \in A_n$ 、有限個を除いて $0$ ）と書いたとき、 $a_n$ を $a$ の $n$ 次斉次成分という。 $A_+ = \bigoplus_{n > 0} A_n$ と書く。
次数環 $A$ 上の加群 $M$ と加法部分群の族 $(M_n)_{n \ge 0}$ で、 $M = \bigoplus_{n \ge 0} M_n$ かつ $A_mM_n \subseteq M_{m+n}$ となるものを次数加群という。斉次元・斉次成分も同様に定める。
次数加群 $M$ の部分加群 $N$ が、その元の斉次成分をすべて含むとき、 $N$ を斉次部分加群という。 $M = A$ のときは斉次イデアルという。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。