Hilbert–Samuel 関数・d(M)

$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアル、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。関数 $\chi^{\mathfrak{q}}_M(n) = \ell_A(M/\mathfrak{q}^nM)$ を Hilbert–Samuel 関数といい、大きい $n$ でこれに一致する多項式（定理 5.1）を Hilbert–Samuel 多項式といって同じ記号で書く。$M \ne 0$ のとき、その次数（定理 5.1 の (3) により $\mathfrak{q}$ によらない）を $d(M)$ と書く。$d(A)$ は $M = A$ の場合である。