Pontryagin–Thom 構成（Thom の定理）

定理 5.6（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§5）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge0$ 、 $k\ge n+2$ 、 $q\ge n+k+1$ とする。 $\pi_{n+k}(MO(k)_q)$ の各元は、零切断 $G$ の逆像の近傍で滑らかで $G$ に横断的な代表元 $f$ をもち、

\Phi\colon\pi_{n+k}(MO(k)_q)\to\mathfrak{N}_n,\qquad[f]\mapsto[f^{-1}(G)]

は矛盾なく定まる群の同型である。同様に $\pi_{n+k}(MSO(k)_q)\cong\Omega_n$ である。したがって $k\gt n+1$ のとき $\mathfrak{N}_n\cong\pi_{n+k}(MO(k))$ 、 $\Omega_n\cong\pi_{n+k}(MSO(k))$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 146 件、定義なども含めて 169 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 13 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性
- 法束は多様体✓補題 7.2・横断性この先をたどる →
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性
- Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性（上で展開済み）
- ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性（上で展開済み）
- 正の連続関数の下に滑らかな正の関数がある✓補題 7.4・横断性この先をたどる →
- パラメータ付き横断性定理✓定理 6.1・横断性この先をたどる →
- 管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性
- 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性この先をたどる →
- 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
横断性の拡張定理✓定理 9.3・横断性
- 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性この先をたどる →
- 閉集合の近傍で 0、外で 1 の関数✓補題 9.2・横断性この先をたどる →
- 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性（上で展開済み）
- パラメータ付き横断性定理✓定理 6.1・横断性この先をたどる →
境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性
- 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性（上で展開済み）
- 境界付き部分多様体定義 3.5・横断性
- 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性この先をたどる →
- 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性（上で展開済み）
Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 射影による次元の削減✓補題 8.2・横断性この先をたどる →
- 固有な単射はめ込みは閉埋め込み✓補題 8.1・横断性この先をたどる →
- 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
管状近傍の存在✓定理 3.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性（上で展開済み）
- 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 部分集合の近くでの単射性✓補題 3.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
積近傍✓補題 3.4・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 管状近傍の存在✓定理 3.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
同境の埋め込み✓補題 5.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 境界付き多様体に対する Sard の定理✓系 3.9・横断性この先をたどる →
法束の分類写像の存在と一意性✓補題 5.4・同境と Pontryagin–Thom 構成この先をたどる →
ホモトピー群定義 2.1・ホモトピー群とファイブレーション

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Pontryagin–Thom 構成（Thom の定理）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 13 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 13 件）