法束の分類写像の存在と一意性

補題 5.4（「同境と Pontryagin–Thom 構成」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $d$ 次元のコンパクトな多様体（境界があってもよい）、 $\xi$ をその上の階数 $k$ の滑らかなベクトル束、 $C\subset X$ を閉集合とし、 $C$ の開近傍 $O$ の上で、各ファイバーの上で単射な線形写像になる滑らかな写像 $\Lambda_0\colon\xi|_O\to\mathbb{R}^q$ が与えられているとする（ $C=\varnothing$ でもよい）。 $q\ge k+d$ ならば、各ファイバーの上で単射な線形写像になる滑らかな写像 $\Lambda\colon\xi\to\mathbb{R}^q$ で、 $C$ の近傍で $\Lambda_0$ に一致するものが存在する。

このような $\Lambda$ は束写像 $\xi\to\gamma_k^q$ 、 $e\mapsto(\Lambda(\xi_x),\Lambda(e))$ （ $e\in\xi_x$ ）と同じものである。したがって、 $q\ge k+d$ なら $\xi$ から $\gamma_k^q$ への束写像（ファイバーごとに同型）が存在する。さらに $X$ が境界をもたず $q\ge k+d+1$ なら、そのような 2 つの束写像は束写像のホモトピーで結べる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 49 件、定義なども含めて 61 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

階数の低い線形写像の集合✓補題 5.3・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理
  - 沈め込みの局所標準形✓定理 3.2・部分多様体と正則値定理
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
パラメータ付き横断性定理✓定理 6.1・横断性
- 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
    滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性
  - 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性（上で展開済み）
  - 境界付き部分多様体定義 3.5・横断性
  - 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性
    連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル（上で展開済み）
  - 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 境界付き多様体に対する Sard の定理✓系 3.9・横断性
  - 境界は 1 次元低い多様体✓命題 4.4・ストークスの定理
    境界点であることはチャートによらない✓補題 4.2・ストークスの定理この先をたどる →
  - Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
  - 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性（上で展開済み）
- 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性
  - 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性（上で展開済み）
  - 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Pontryagin–Thom 構成（Thom の定理）✓定理 5.6・同境と Pontryagin–Thom 構成

法束の分類写像の存在と一意性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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