等分点の群構造

命題 4.2（「フェルマーの最終定理 I」§4）・ ✓公理まで証明済み

$F$ を標数 $0$ の体、 $\bar F$ をその代数閉包、 $E : y^2 = x^3 + ax + b$ （ $a, b \in F$ 、 $4a^3 + 27b^2 \ne 0$ ）とする。すべての $m \ge 1$ について

E[m] = \{P \in E(\bar F) \mid mP = O\} \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2

であり、 $\mathrm{Aut}(\bar F/F)$ は座標への作用によって $E[m]$ に群の自己同型として作用する。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

等分点の個数✓補題 4.1・フェルマーの最終定理 I
- 平行四辺形則を満たす関数は二次形式✓補題 4.5・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
- 加法公式✓命題 3.2・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理
- PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- 素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 中国剰余定理✓命題 2.4・加群と PID 上の構造定理
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
加法公式✓命題 3.2・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。