加法公式

定義 2.1 の $E$ と $P_1 = (x_1, y_1)$、$P_2 = (x_2, y_2) \in E(L) \setminus \{O\}$ を取る。定義 3.1 の加法について次が成り立つ。

1. $x_1 = x_2$ かつ $y_2 = -y_1$ ならば $P_1 + P_2 = O$。とくに $-(x,y) = (x,-y)$ である。
2. そうでないとき、 $$\lambda = \begin{cases} \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} & (x_1 \ne x_2) \\[2mm] \dfrac{3x_1^2 + a}{2y_1} & (P_1 = P_2,\ y_1 \ne 0) \end{cases}$$ とおくと $P_1 + P_2 = (x_3, y_3)$、ただし $$x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2, \qquad y_3 = \lambda (x_1 - x_3) - y_1$$ である。