数学 › 数論 › 原始根と平方剰余の相互法則

ルジャンドル記号の性質

系 3.4（「原始根と平方剰余の相互法則」§3）・ ✓公理まで証明済み

$p$ を奇素数、 $a,b$ を整数とする。

$\left(\dfrac{ab}p\right)=\left(\dfrac ap\right)\left(\dfrac bp\right)$ 。
$a\equiv b\pmod p$ ならば $\left(\dfrac ap\right)=\left(\dfrac bp\right)$ 。
$\left(\dfrac{-1}p\right)=(-1)^{(p-1)/2}$ 。すなわち $-1$ が平方剰余であるのは $p\equiv1\pmod4$ のとき、かつそのときに限る。
$p\nmid a$ なら $\left(\dfrac{a^2}p\right)=1$ 。
$1,\ldots,p-1$ のうち、平方剰余と平方非剰余はそれぞれちょうど $(p-1)/2$ 個ある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

オイラーの規準✓定理 3.3・原始根と平方剰余の相互法則
- 素数を法とする根の個数✓補題 2.3・原始根と平方剰余の相互法則

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Gauss 和の平方✓定理 5.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
相互法則の円分体による証明✓命題 5.4・円分体と Kronecker–Weber の定理
Paley グラフの対称性✓補題 5.5・極値グラフ理論と Ramsey 理論
素数の ℤ[ω] での分解✓補題 2.3・リーマン予想 III

関連するノック 4 問