数学 › グラフ理論 › 極値グラフ理論と Ramsey 理論

Paley グラフの対称性

補題 5.5（「極値グラフ理論と Ramsey 理論」§5）・ ✓公理まで証明済み

$p\equiv1\pmod4$ を素数とする。

$P_p$ の隣接関係は対称で、 $P_p$ はグラフとして定まる。
$a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と、 $0$ でない平方剰余 $s$ に対し、 $x\mapsto x+a$ と $x\mapsto sx$ は $P_p$ の自己同型である。
平方非剰余 $t$ に対し、 $x\mapsto tx$ は $P_p$ から補グラフ $\overline{P_p}$ への同型である。とくに $\omega(P_p)=\alpha(P_p)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ルジャンドル記号の性質✓系 3.4・原始根と平方剰余の相互法則
- オイラーの規準✓定理 3.3・原始根と平方剰余の相互法則
  - 素数を法とする根の個数✓補題 2.3・原始根と平方剰余の相互法則

これを使っている定理証明で参照している 1 件

小さい Ramsey 数✓命題 5.6・極値グラフ理論と Ramsey 理論