ノルムと合成した指標の L 関数の分解

命題 4.2（「リーマン予想 III」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\chi$ を法 $q$ の Dirichlet 指標とする。

$\eta_\chi(\mathfrak{a}):=\chi(N\mathfrak{a})$ は、法 $q\mathcal{O}$ の有限位数 Hecke 指標である。
$\chi\chi_{-3}$ を法 $3q$ の Dirichlet 指標 $n\mapsto\chi(n)\chi_{-3}(n)$ とすると、 $\operatorname{Re}s\gt1$ で

L_F(s,\eta_\chi)=L(s,\chi)\,L(s,\chi\chi_{-3})

が成り立つ。とくに $\zeta_F(s)=\zeta(s)L(s,\chi_{-3})$ である。右辺によって $L_F(s,\eta_\chi)$ は $\operatorname{Re}s\gt0$ 上の有理型関数に延びる。 3. $\frac12\le\sigma_0\lt1$ とする。2 で延ばした $L_F(s,\eta_\chi)$ が $\operatorname{Re}s\gt\sigma_0$ に零点をもたなければ、 $L(s,\chi)$ も $\operatorname{Re}s\gt\sigma_0$ に零点をもたない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 254 件、定義なども含めて 298 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限位数 Hecke 指標と Hecke L 関数定義 2.4・リーマン予想 III
Hecke L 関数の Euler 積✓補題 2.5・リーマン予想 III
- 素数の ℤ[ω] での分解✓補題 2.3・リーマン予想 III（上で展開済み）
- 整数環は Dedekind 整域✓定理 4.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 有限整域は体✓定理 5.3・環と体の基礎
    整域と消去律✓命題 4.4・環と体の基礎この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
素数の ℤ[ω] での分解✓補題 2.3・リーマン予想 III
- 二次体での素数の分解✓命題 8.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 二次体の整数環と判別式✓命題 8.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - Kummer–Dedekind の判定法✓定理 7.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - ルジャンドル記号定義 3.2・原始根と平方剰余の相互法則
- ルジャンドル記号の性質✓系 3.4・原始根と平方剰余の相互法則
  - オイラーの規準✓定理 3.3・原始根と平方剰余の相互法則この先をたどる →
- 平方剰余の相互法則（ガウス）✓定理 5.3・原始根と平方剰余の相互法則
  - アイゼンシュタインの補題✓補題 5.1・原始根と平方剰余の相互法則この先をたどる →
  - 格子点の数え上げ✓補題 5.2・原始根と平方剰余の相互法則
- 分岐指数・剰余次数・イデアルのノルム定義 5.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
L 関数の Euler 積と対数✓補題 2.5・リーマン予想 II
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
- 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
定理 3.1✓リーマン予想 II
- 有限アーベル群の指標の直交関係✓命題 2.1・リーマン予想 II この先をたどる →
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
- L 関数の Euler 積と対数✓補題 2.5・リーマン予想 II（上で展開済み）
- オイラー積表示✓定理 3.1・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
- リーマンの関数等式✓定理 4.5・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
- オイラー関数の乗法性と公式✓定理 7.3・整除と素因数分解この先をたどる →
L(1, χ) ≠ 0✓定理 3.3・リーマン予想 II
- L 関数の Euler 積と対数✓補題 2.5・リーマン予想 II（上で展開済み）
- 定理 3.1✓リーマン予想 II（上で展開済み）
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
- ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
- 非負係数の Dirichlet 級数（Landau）✓補題 3.2・リーマン予想 II この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

ノルムと合成した指標の L 関数の分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）