有限アーベル群の指標の直交関係

命題 2.1（「リーマン予想 II」§2）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を有限アーベル群とし、群準同型 $\chi:G\to\mathbb{C}^\times$ の全体を $\widehat G$ と書く。恒等的に $1$ の準同型を $\chi_0$ とする。

$|\widehat G|=|G|$ であり、 $\chi\in\widehat G$ の値は絶対値 $1$ で $\overline{\chi(g)}=\chi(g)^{-1}$ 。
$\chi\in\widehat G$ について $\displaystyle\sum_{g\in G}\chi(g)=\begin{cases}|G|&(\chi=\chi_0)\\0&(\chi\ne\chi_0)\end{cases}$
$g\in G$ について $\displaystyle\sum_{\chi\in\widehat G}\chi(g)=\begin{cases}|G|&(g=e)\\0&(g\ne e)\end{cases}$

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

指標定義 5.1・有限群の表現
可換群の既約表現は 1 次元✓系 4.2・有限群の表現
- Schur の補題✓定理 4.1・有限群の表現
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
既約表現の個数✓定理 6.1・有限群の表現
- 既約指標の直交関係✓定理 5.3・有限群の表現（上で展開済み）
- Schur の補題✓定理 4.1・有限群の表現（上で展開済み）
- 完全可約性✓系 3.2・有限群の表現
  - Maschke の定理✓定理 3.1・有限群の表現
既約指標の直交関係✓定理 5.3・有限群の表現
- 指標の基本性質✓命題 5.2・有限群の表現
  - 特性多項式と固有空間の相似不変性✓定理 4.4・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 内積空間定義 3.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 平均化と Schur の補題✓補題 4.3・有限群の表現
  - Schur の補題✓定理 4.1・有限群の表現（上で展開済み）
  - 特性多項式と固有空間の相似不変性✓定理 4.4・固有値と固有ベクトル（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

一様な零点なし半平面からの帰結（仮定つき）✓命題 7.2・リーマン予想 III
定理 3.1✓リーマン予想 II

有限アーベル群の指標の直交関係

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件