内積空間

$V$ を $\mathbb{K}$ 上のベクトル空間とする。写像

が次の 3 条件を満たすとき、$\langle\cdot,\cdot\rangle$ を $V$ 上の内積といい、組 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ を内積空間という。

• (IP1)（第 1 変数についての線形性）任意の $x,y,z\in V$ と $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ に対して $\langle \lambda x+\mu y,\ z\rangle = \lambda\langle x,z\rangle + \mu\langle y,z\rangle$。
• (IP2)（共役対称性）任意の $x,y\in V$ に対して $\langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}$。$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ のときはこれは対称性 $\langle y,x\rangle = \langle x,y\rangle$ を意味する。
• (IP3)（正定値性）任意の $x\in V$ に対して $\langle x,x\rangle \ge 0$ であり、さらに $\langle x,x\rangle = 0$ となるのは $x=0$ のときに限る。