数学 › 代数学（群・環・体） › 有限群の表現

指標の基本性質

命題 5.2（「有限群の表現」§5）・ ✓公理まで証明済み

表現 $V, W$ の指標について次が成り立つ。

$\chi_V(e) = \dim V$ 。 $\chi_V$ は類関数。
$\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$ 。 $V \cong W$ なら $\chi_V = \chi_W$ 。
$\chi_V(g^{-1}) = \overline{\chi_V(g)}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

特性多項式と固有空間の相似不変性✓定理 4.4・固有値と固有ベクトル
- 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
内積空間定義 3.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

既約指標の直交関係✓定理 5.3・有限群の表現
重複度の公式✓系 5.4・有限群の表現

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