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重複度の公式

系 5.4（「有限群の表現」§5）・ ✓公理まで証明済み

$V_1, \ldots, V_r$ を $G$ の既約表現の同型類の代表系とし、 $\chi_i = \chi_{V_i}$ とおく。任意の表現 $V$ が $V \cong V_1^{m_1} \oplus \cdots \oplus V_r^{m_r}$ と分解するとき（系 3.2）、

m_i = \langle \chi_V, \chi_i \rangle, \qquad \langle \chi_V, \chi_V \rangle = \sum_{i} m_i^2

である。したがって $m_i$ は分解の仕方によらず定まり、 $V$ は指標で決まる（ $\chi_V = \chi_W$ なら $V \cong W$ ）。また $V$ が既約であることと $\langle \chi_V, \chi_V \rangle = 1$ は同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

指標の基本性質✓命題 5.2・有限群の表現
- 特性多項式と固有空間の相似不変性✓定理 4.4・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
- 内積空間定義 3.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
既約指標の直交関係✓定理 5.3・有限群の表現
- 指標の基本性質✓命題 5.2・有限群の表現（上で展開済み）
- 平均化と Schur の補題✓補題 4.3・有限群の表現
  - Schur の補題✓定理 4.1・有限群の表現
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - 特性多項式と固有空間の相似不変性✓定理 4.4・固有値と固有ベクトル（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

正則表現の分解✓定理 6.2・有限群の表現

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