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正則表現の分解

定理 6.2（「有限群の表現」§6）・ ✓公理まで証明済み

$V_1, \ldots, V_r$ を $G$ の既約表現の同型類の代表系、 $d_i = \dim V_i$ とする。正則表現は

\mathbb{C}^G \cong V_1^{d_1} \oplus \cdots \oplus V_r^{d_r}

と分解する。したがって

|G| = \sum_{i=1}^{r} d_i^{\,2}, \qquad \sum_{i=1}^{r} d_i\,\chi_i(g) = 0 \quad (g \ne e)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

重複度の公式✓系 5.4・有限群の表現
- 指標の基本性質✓命題 5.2・有限群の表現
  - 特性多項式と固有空間の相似不変性✓定理 4.4・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 内積空間定義 3.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 既約指標の直交関係✓定理 5.3・有限群の表現
  - 指標の基本性質✓命題 5.2・有限群の表現（上で展開済み）
  - 平均化と Schur の補題✓補題 4.3・有限群の表現
    Schur の補題✓定理 4.1・有限群の表現この先をたどる →
    特性多項式と固有空間の相似不変性✓定理 4.4・固有値と固有ベクトル（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Schur–Weyl 双対性✓定理 4.2・SU(N) の表現と Young 図形

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