数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › SU(N) の表現と Young 図形

Schur–Weyl 双対性

定理 4.2（「SU(N) の表現と Young 図形」§4） ・ ✓公理まで証明済み

  1. A=End⁡Sk(V⊗k)\mathcal{A}=\operatorname{End}_{S_k}(V^{\otimes k}) であり、A\mathcal{A} は {u⊗k:u∈U(N)}\lbrace u^{\otimes k} : u\in U(N)\rbrace でも張られる。
  2. λ⊢k\lambda\vdash k について SλV:=cλV⊗kS_\lambda V:=c_\lambda V^{\otimes k} とおくと、U(N)U(N) の表現として
V⊗k≅⨁λ⊢kSλV⊗SλV^{\otimes k}\cong\bigoplus_{\lambda\vdash k}S_\lambda V\otimes S^\lambda

であり（U(N)×SkU(N)\times S_k の表現として）、SλVS_\lambda V は 00 でなければ U(N)U(N) の既約表現で、λ≠μ\lambda\ne\mu なら SλV≇SμVS_\lambda V\not\cong S_\mu V である。 3. SλV≠0S_\lambda V\ne0 と ℓ(λ)≤N\ell(\lambda)\le N は同値である。SλVS_\lambda V の対角行列 tt に関するウェイト（tt の固有値 tμt^\mu の指数 μ\mu）はすべて μ1+⋯+μr≤λ1+⋯+λr\mu_1+\cdots+\mu_r\le\lambda_1+\cdots+\lambda_r（1≤r≤N1\le r\le N）を満たし、ℓ(λ)≤N\ell(\lambda)\le N なら μ=λ\mu=\lambda はウェイトである。 4. 逆向きの可換子についても End⁡U(N)(V⊗k)=B\operatorname{End}_{U(N)}(V^{\otimes k})=\mathcal{B}、すなわち u⊗ku^{\otimes k}（u∈U(N)u\in U(N)）と可換な作用素は置換作用素 σ∈Sk\sigma\in S_k の 1 次結合である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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