数学 › 未解決問題と大定理 › リーマン予想 III

一様な零点なし半平面からの帰結（仮定つき）

命題 7.2（「リーマン予想 III」§7） ・ ✓公理まで証明済み

12≤Θ<1\frac12\le\Theta\lt1 とし、QRH(Θ)\mathrm{QRH}(\Theta) を仮定する。すなわち、すべての Dirichlet 指標 χ\chi について L(s,χ)L(s,\chi) は Re⁡s>Θ\operatorname{Re}s\gt\Theta に零点をもたないとする（主張 A が正しいと仮定すると、Θ=78\Theta=\frac78 でこの仮定が満たされる）。このとき次が成り立つ。

  1. 定数 CC があって、x≥2x\ge2 で ∣ψ(x)−x∣≤C xΘlog⁡2x|\psi(x)-x|\le C\,x^{\Theta}\log^2x。
  2. 任意の 0<δ<12(1−Θ)0\lt\delta\lt\frac12(1-\Theta) に対して、Θ\Theta と δ\delta だけに依る定数 CδC_\delta があって、すべての q≥1q\ge1、法 qq の主指標でないすべての χ\chi、すべての x≥2x\ge2 について ∣ψ(x,χ)∣≤Cδ xΘ+2δlog⁡2(qx)|\psi(x,\chi)|\le C_\delta\,x^{\Theta+2\delta}\log^2(qx)。
  3. 同じ δ\delta に対して定数 Cδ′C'_\delta があって、すべての q≥1q\ge1、gcd⁡(a,q)=1\gcd(a,q)=1、x≥2x\ge2 について ∣ψ(x;q,a)−xφ(q)∣≤Cδ′ xΘ+2δlog⁡2(qx)\bigl|\psi(x;q,a)-\frac{x}{\varphi(q)}\bigr|\le C'_\delta\,x^{\Theta+2\delta}\log^2(qx)。
  4. どの Dirichlet 指標 χ\chi についても、L(s,χ)L(s,\chi) は区間 (Θ,1)(\Theta,1) に実零点をもたない。とくに c<(1−Θ)log⁡3c\lt(1-\Theta)\log3 について、例外零点（定義 4.3［リーマン予想 II］）は存在しない。

主張 A が正しいと仮定すると、Θ=78\Theta=\frac78 として、ψ(x)=x+O(x7/8log⁡2x)\psi(x)=x+O(x^{7/8}\log^2x)、任意の ε>0\varepsilon\gt0 について qq に関して一様に ψ(x;q,a)=xφ(q)+Oε(x7/8+εlog⁡2(2q))\psi(x;q,a)=\frac{x}{\varphi(q)}+O_\varepsilon(x^{7/8+\varepsilon}\log^2(2q))、および (78,1)(\frac78,1) に実零点が無いことが従う。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 212 件、定義なども含めて 250 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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