数学 › 複素関数論 › 最大値原理の一般化と正則関数族

Borel–Carathéodory の不等式

命題 4.3（「最大値原理の一般化と正則関数族」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を $\overline{D}(0,R)$ を含む開集合上の正則関数で $f(0)=0$ とする。 $A>0$ について円周 $|z|=R$ 上で $\operatorname{Re}f\le A$ ならば、 $|z|<R$ で

|f(z)|\le\frac{2A|z|}{R-|z|}

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 35 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

境界値による最大値原理✓定理 3.1・最大値原理の一般化と正則関数族
- 最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - 絶対値が定数の正則関数は定数✓命題 7.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    導関数が消えれば定数✓命題 5.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則関数は小さな部分で決まる✓系 7.4・正則関数の強力な性質
    一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
Schwarz–Pick の補題✓定理 4.1・最大値原理の一般化と正則関数族

これを使っている定理証明で参照している 3 件

実部の増大度と多項式✓系 4.4・最大値原理の一般化と正則関数族
零点なし半平面での L′/L の大きさ✓補題 7.1・リーマン予想 III
リーマン予想の下での 1/ζ の大きさ✓補題 7.3・リーマン予想 II