L 関数の Euler 積と対数

補題 2.5（「リーマン予想 II」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\chi$ を法 $q$ の Dirichlet 指標とする。 $\operatorname{Re}s\gt1$ で

\ell_\chi(s):=\sum_{p}\sum_{k\ge1}\frac{\chi(p)^{k}}{k\,p^{ks}}

は絶対収束して正則関数を定め、

L(s,\chi)=\exp\ell_\chi(s)=\prod_{p}\bigl(1-\chi(p)p^{-s}\bigr)^{-1}

が成り立つ（積は $\lim_{N\to\infty}\prod_{p\le N}$ の意味）。とくに $\operatorname{Re}s\gt1$ で $L(s,\chi)\ne0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 41 件、定義なども含めて 51 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理
- 完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術
  - 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術
    背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
    整列性公理 3.1・証明の技術
- 素数と合成数定義 2.2・素数の魅力と素数定理
- ユークリッドの補題✓補題 4.1・素数の魅力と素数定理
  - 素数と合成数定義 2.2・素数の魅力と素数定理
  - ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理
    除法の原理✓補題 2.3・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
    整除と最大公約数定義 2.1・素数の魅力と素数定理
二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定
  - 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
  - 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面
    複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定
    級数のコーシーの判定条件✓定理 3.8・級数と収束判定この先をたどる →
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 9 件

原始的でない指標の L 関数は同じ零点をもつ✓命題 4.1・リーマン予想 III
ノルムと合成した指標の L 関数の分解✓命題 4.2・リーマン予想 III
零点なし半平面での L′/L の大きさ✓補題 7.1・リーマン予想 III
一様な零点なし半平面からの帰結（仮定つき）✓命題 7.2・リーマン予想 III
定理 3.1✓リーマン予想 II
L(1, χ) ≠ 0✓定理 3.3・リーマン予想 II
Dirichlet の算術級数定理✓定理 3.4・リーマン予想 II
リーマン予想の下での 1/ζ の大きさ✓補題 7.3・リーマン予想 II
有限体上の楕円曲線のリーマン予想（Hasse）✓定理 8.1・リーマン予想 II

L 関数の Euler 積と対数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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