有限位数 Hecke 指標と Hecke L 関数

$\mathfrak{f}$ を $\mathcal{O}$ の $0$ でないイデアルとし、$\chi:(\mathcal{O}/\mathfrak{f})^\times\to\mathbb{C}^\times$ を、$6$ 個の単数 $u$ すべてについて $\chi(u\bmod\mathfrak{f})=1$ を満たす群準同型とする。$0$ でないイデアル $\mathfrak{a}=\alpha\mathcal{O}$ に対して

と定める（生成元 $\alpha$ は単数倍を除いて一意で、$\chi$ は単数で $1$ なので、値は $\alpha$ の選び方によらない）。この $\eta$ を法 $\mathfrak{f}$ の有限位数 Hecke 指標という。$\eta(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=\eta(\mathfrak{a})\eta(\mathfrak{b})$ が成り立つ。$\chi$ が自明なとき $\eta$ を主指標という。Dirichlet 指標の場合（定義 2.2［リーマン予想 II］）と同じく、$\mathfrak{f}'\supset\mathfrak{f}$ を法とする指標 $\eta^{*}$ が $\mathfrak{f}$ と互いに素なすべてのイデアルで $\eta$ と一致するとき $\eta$ は $\eta^{*}$ から誘導されるといい、真に大きい $\mathfrak{f}'$ の指標から誘導されないとき原始的という。$\operatorname{Re}s\gt1$ で

を Hecke $L$ 関数という（和は $\mathcal{O}$ の $0$ でないイデアル全体。収束は 補題 2.5）。$\mathfrak{f}=\mathcal{O}$ の主指標では $L_F(s,\eta)=\zeta_F(s):=\sum_{\mathfrak{a}}(N\mathfrak{a})^{-s}$（Dedekind ゼータ関数）である。