数学 › 数論 › 原始根と平方剰余の相互法則

ガウスの補題

補題 4.1（「原始根と平方剰余の相互法則」§4）・ ✓公理まで証明済み

$p$ を奇素数、 $h=(p-1)/2$ 、 $p\nmid a$ とする。 $j=1,\ldots,h$ について $ja$ を $p$ で割った余りを $r_j\in\{1,\ldots,p-1\}$ とし、 $r_j>p/2$ となる $j$ の個数を $\mu$ とおく。このとき

\left(\frac ap\right)=(-1)^{\mu}.

さらに、 $s_j=r_j$ （ $r_j<p/2$ のとき）、 $s_j=p-r_j$ （ $r_j>p/2$ のとき）とおくと、 $s_1,\ldots,s_h$ は $1,\ldots,h$ の並べ替えである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理
- ベズーの等式✓定理 2.2・合同式とフェルマーの小定理
  - 除法の原理✓定理 2.1・合同式とフェルマーの小定理
    整列性公理 3.1・証明の技術
オイラーの規準✓定理 3.3・原始根と平方剰余の相互法則
- 素数を法とする根の個数✓補題 2.3・原始根と平方剰余の相互法則

これを使っている定理証明で参照している 1 件

アイゼンシュタインの補題✓補題 5.1・原始根と平方剰余の相互法則