ファイバーの底空間

命題 5.3（「スキームの性質と射」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f\colon X \to Y$ をスキームの射、 $y \in Y$ とする。射影 $p_1\colon X_y \to X$ は、 $X_y$ の底空間から $f^{-1}(y)$ （ $X$ の部分空間）への同相写像である。 $X = \operatorname{Spec} A$ 、 $Y = \operatorname{Spec} B$ 、 $y = \mathfrak{q}$ のとき $X_y = \operatorname{Spec}(A \otimes_B \kappa(\mathfrak{q}))$ で、 $A \otimes_B \kappa(\mathfrak{q}) \cong A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{q}}$ （ $A_{\mathfrak{q}}$ は $A$ の $B \setminus \mathfrak{q}$ の像による局所化）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 46 件、定義なども含めて 60 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環準同型が誘導する連続写像✓命題 4.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射
- 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
    芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
  - 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
    Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
    開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
    素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム
  - 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層この先をたどる →

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有限射は閉写像でファイバーは有限✓命題 6.2・スキームの性質と射

ファイバーの底空間

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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