右導来関手・左導来関手

$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ を加法関手とする。

1. $\mathcal A$ が十分に入射対象をもつとき、$R^nF(X) = H^n(F(I_X))$ と定める。ここで $F(I_X)$ は複体 $F(I_X^0) \to F(I_X^1) \to \cdots$ である。射 $f\colon X \to Y$ には、$f$ の持ち上げ $\varphi\colon I_X \to I_Y$（定理 3.1 の 1）をとり $R^nF(f) = H^n(F(\varphi))$ と定める。$R^nF$ を $F$ の第 $n$ 右導来関手という。
2. $\mathcal A$ が十分に射影対象をもつとき、選んだ射影分解 $P_X$ について $L_nF(X) = H_n(F(P_X)) = H^{-n}(F(P_X))$、$L_nF(f) = H_n(F(\varphi))$（$\varphi\colon P_X \to P_Y$ は 定理 3.1 の 2 の持ち上げ）と定め、第 $n$ 左導来関手という。
3. 反変関手、すなわち関手 $G\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B$ については、$\mathcal A$ が十分に射影対象をもつとき、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ は十分に入射対象をもち、$\mathcal A$ の射影分解は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の入射分解なので、1 により $R^nG(X) = H^n(G(P_X))$（$G(P_X)$ は $G(P_0) \to G(P_1) \to \cdots$）が定まる。