Cartan–Eilenberg 分解

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもつとし、$C$ を上のとおりとする。各 $p$ について $B^p$ と $H^p$ の入射分解 $I_B^p$、$I_H^p$ をとり（$p \le p_0$ では $B^p = 0$、$p < p_0$ では $H^p = 0$ で、零の分解をとる）、$(\mathrm{S1}_p)$ に 補題 3.3［導来関手と δ 関手］ を使って $Z^p$ の入射分解 $I_Z^p$（$I_Z^{p,q} = I_B^{p,q} \oplus I_H^{p,q}$）を作り、さらに $(\mathrm{S2}_p)$ に使って $C^p$ の入射分解 $I_C^p$（$I_C^{p,q} = I_Z^{p,q} \oplus I_B^{p+1,q}$）を作る。$J^{p,q} = I_C^{p,q}$、$d_v$ を $I_C^p$ の微分、

（馬蹄補題の射影と包含の合成）、$\varepsilon^p\colon C^p \to J^{p,0}$ を $I_C^p$ の増強とする。この二重複体 $J$ と $\varepsilon$ を $C$ の Cartan–Eilenberg 分解（CE 分解）という。